回答
日程変更のお願いはしないことをお勧めします。
解説
どうしても外せない予定の重要度がどれくらいのものか分かりませんが、日程の変更受け付けてくれるのは、企業によります。
打診をしてみるのも一つですが、わたくしは、日程変更のお願いはしないことをお勧めします。
わたくしも勤務先で採用担当を以前しておりましたが（弊社は基本的に変更を受けていましたが）、変更通知をいただいた求職者の方の採用優先順位は、下位の順番になるのは避けられないものでした。
面接日変更の通知を打診されたときの企業側の頭に浮かぶものは、「彼/彼女は、他企業と面接がかぶったな…、そして、優先順位で、うちの会社の方が下だな。では、あまりアテには出来ないな…」と考えます。
採用担当者が、一番避けたいのは、彼/彼女こそ来てほしい！と考えて採用内定を出した人材に、辞退されることなのです。
欲しい人材の内定辞退は、採用担当者の人事考課に直結するものだからです。
求職者側が就職活動で必死なのと同様に、採用側も自社に合った人材の採用に必死なのです。
求職者の方がいかような理由をつけても、変更受付はしてもらえるかもしれませんが、いずれにしても内定獲得で不利になるのは避けられません。
突然の身内の不幸（同居されている方）以外は、日程変更はしない方が良いでしょう。
もし、複数社の面接日が重なってしまったら、一番就職したい企業の準備を入念に行い、その会社で内定を得られるよう努力されることをお勧めします。
